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  1. 本书主要是编译者收集西南石油大学聂仁仕先生等相关专家近期在国外期刊发表的一系列关于非线性方程推导及最新应用的论文，并对论文进行了翻译整理选编。全书共4个板块：地层条件下油井生产过程中的非线性渗透模型，带有二次压力梯度项的非线性球形渗流模型及其渗流特征研究，带二次压力梯度项的裂缝性三重介质油藏不稳定试井分析，多层复合油藏包含二次压力梯度项的非线性渗流模型。由于在非线性方程、特别是带有二次压力梯度项的...查看更多
  2. 本书主要收集了聂仁仕先生等作者近期在国外期刊发表的一系列关于非线性方程推导及应用的论文。非线性方程，特别是带有二次压力梯度项的非线性方程在石油渗流领域有着广泛的应用，如产能预测、试井应用等。本书将近期关于非线性渗流应用的最新应用成果翻译成册，以便为高等院校、科研机构及研究生提供借鉴和参考。
    感谢聂仁仕先生等对本书翻译文献的授权。



    编译者
    2014年2月
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  1. 一、地层条件下油井生产过程中的
    非线性渗透模型
    郭建春  聂仁仕
    西南石油大学油气藏地质及开发工程国家重点实验室，中国.四川.成都
    摘 要：地层条件下流体的流动是一种非线性渗流过程。本文我们模拟了地层条件下油井生产的非线性瞬态流行为。以达西定律和物质平衡方程为基础，我们采用二次压力梯度来推导扩散方程，并讨论非线性渗流问题的起因。通过引入考虑了表皮系数的有效的油井半径的方法，我们建立了一种气体和液体（油和水）的非线性渗流模型。用半解析法对液体流模型进行求解，而气体流动模型使用数值模拟求解，因为气体流动的扩散方程是压力的隐函数。对于液体流动而言，绘制了一系列压力波动的标准双对数典型曲线，分析了非线性波动流的特征。应用定性和定量五种分析方法对比了线性和非线性模型的计算结果。非线性对于压力波动的影响不容忽视。在相同地层和井的条件下模拟了气体流动压力波动并与原油流动时的压力波动进行了对比。得出的结论是：在相同体积流量的产量下，油井比气井需要更大的压力降。通过对理论数据和现场数据的对比可以发现非线性模型描述地下地层流体更真实，准确。
    1  引  言
    在众多的非线性地球物理过程中，通过多孔介质的瞬态流体流动是特别令人感兴趣的。这个过程在实际中具有重要性，它是由扩散方程主导的，这个方程描述了流体和介质特性对于压力的依赖关系所造成的非线性变化。当孔隙度、渗透率和流体密度以指数形式依赖于压力，扩散方程简化为含有平方梯度项的扩散方程。许多已发表的文章都通过变量的修改描述这个方程的解析解（恰克拉巴提等，1993年；Jelmert和维克，1996；奥德赫和巴布，1998；王和Dusseault，1991），这是Hopf-Cole变化的特殊情况（马歇尔，2009）。在双孔介质和分型介质中的应用也进行了描述。压力波动是在特定的初始条件和边界条件下的试井模型扩散方程理论解的图形曲线，其中试井模型就代表油藏井系统（乔杜里，2004）。根据这些解析解绘制压力波动曲线，并应用在试井波动的解释中（Braeuning等）。这项研究表明，二次压力梯度项影响压力波动的解。假如忽略非线性项，在某种活油和低渗储层的作业过程中，例如，水力压裂，大降深流，段塞测试，钻杆测试和大压力脉冲试验中将会预测压力时出现显著错误。即使非线性的重要性已引起重视，仍然没有发现现代试井解释在现场数据中的应用。实际上，除了非线性球型典型曲线（Nie和Ding，2010）以外，还没有开发出来一套标准的双对数典型曲线来进行现代试井解释。此外，一直没有有关二次压力梯度对于气体流动影响的研究或者讨论。
    因此，本文的主要任务是：① 推导出带有多孔介质中气体和液体二次压力梯度项的非线性控制方程，并讨论了非线性渗流的起源问题；② 建立并求解了一种油井生产的非线性流动模型；③ 为地层中液体流动井筒压力波动分析绘制了一系列的标准型典型曲线；④ 用典型曲线分析了液体非线性流动特征；⑤ 在非线性和线性液体流动模型之间对压力和压力导数用定性和定量的方法做了对比；⑥ 用数值模拟方法模拟非线性气流的井筒压力波动并在相同的地层和井条件下对比这些压力波动和非线性油流的区别；⑦ 针对现场数据匹配非线性和线性模型的理论数据，来估算实际和理论应用之间的差异。本研究的结果表明在实际研究中使用非线性渗流模型。
    与之前的出版物相比，如Cao等（2004）、恰克拉巴提等（1993b）、马歇尔（2009）等，本研究的亮点是：① 在非线性流动模型中新考虑了带有表皮系数影响的井的实际参数的使用；② 应用现代标准型典型曲线，可以直观地观察到非线性瞬态流动行为；③ 从典型曲线识别流型，包括对不同外部边界反应的识别；④ 对典型曲线参数敏感性全面的分析；⑤ 使用DV和RDV的定量方法来描述非线性模型和线性模型结果的不同；⑥ 建立了非线性气体流动的数值模型，模拟和比较了非线性气体和原油的压力波动；⑦ 通过理论数据和现场数据的比较，考虑了现实世界中的应用。
    2  非线性控制方程
    2.1  液体流动
    对于均质地层中垂直井的生产，在一个垂直平面内的流动不显著，无需AZ坐标的径向圆柱坐标系就可以用来描述扩散方程：
            （1）
    式中  p —— 压力，MPa；
      r —— 径向圆柱坐标，cm；
      t —— 时间，s；
      —— 岩石孔隙度，%；
      k —— 径向渗透率，达西；
      μ —— 黏度，MPa•s；
      Ct —— 综合压缩系数，MPa1；
      Cρ —— 液体压缩系数，MPa1。
    因为有二次压力梯度项（即公式（1）的第二个压力梯度项），所以控制偏微分方程是非线性的。
    当孔隙度和流体密度以指数形式依赖于压力时，附录推导出的扩散方程就含二次梯度项（马歇尔，2009；Nie和Ding，2010）：
               （2）
               （3）
    其中   —— 密度，g/cm3；
       —— 岩石压缩系数，MPa1；
       —— 参考值，通常用在标准状况下。
    函数 用麦克劳林系列展开式展开如下：
           （4）
    假如用麦克劳林系列展开式展开方程（2）和（3），并且忽略第二或者更高阶项，那么方程（5）和方程（6）可以分别代替方程（2）和（3）：
               （5）
               （6）
    当推导扩散方程时，状态方程（方程2和方程3）中缺乏简化导致了二次压力梯度项的出现。假如用方程（5）和（6），我们会获得常规的线性流方程，而没有二次压力梯度项。
    因此，线性流方程是包括二次压力梯度项的非线性流方程的一种近似和简化。实际上，在多孔介质中液体的流动是一个复杂的非线性流动过程，非线性流动定律就是多孔介质中的流动规律。
    2.2  气体流动
    由于气液状态方程的不同，在多孔介质中的气体的流动不同于液体流动（Nie等；2012a）：
                          （7）
    其中  V —— 气体体积，cm3；
      Z —— 压缩因子，分数；
      n —— 气体摩尔数，mol；
      R —— 通用气体常数，J（molK）1；
      T —— 气体温度，K。
    气体体积是质量和密度的函数：
             （8）
    其中  m —— 气体质量，g；
      ρ —— 密度，g/cm3。
    气体摩尔数是质量和平均摩尔质量的函数：
             （9）
    其中  M —— 气体平均摩尔质量，g/mol。
    把方程（8）和（9）代入方程（7）得
           （10）
    我们考虑等温方程和达西流，把方程（10）代入方程（A3）得
     
       （11）
    其中  x, y, z —— 笛卡儿坐标轴；
      kx —— x方向上的渗透率，达西；
      ky —— y方向上的渗透率，达西；
      kz —— z方向上的渗透率，达西。
    我们假设岩石弹性微可压缩，在水平和垂直平面上岩性各向同性且渗透率是常数，则
             （12）
    其中  kh等于kx的水平渗透率；
      ky在水平面内各向同性，达西。
    方程（12）左侧的偏微分方程表达式为
             （13）
    方程（12）右侧的偏微分方程表达式为
           （14）
    气体等温压缩系数是压力和压缩因子的函数：
            （15）
    把方程（13）～（15）代入方程（12）得
     
            （16）
         （17）
    其中   —— 气体压缩系数，MPa1；
        —— 综合压缩系数，MPa1。
    方程（16）是一个气体在均质地层流动的扩散方程，包含了在笛卡儿坐标系中压力平方的二次导数项。方程（16）表明在多孔介质中的气体流动是一种非线性过程。通过与液体微分控制方程（方程1）比较，方程（16）展示了一种更复杂的非线性特征。因为 项是一个压力的隐函数不是一个常数，所以求解这个扩散方程比较困难。通常拟压力（或者潜在的）函数（Ertekin和Sung，1989；King和Ertekin，1988；Nie等，2012年）用来描述气体流动的控制方程：
         （18）
    其中  Ψ —— 气体拟压力，MPa2（mPa•s1）1；
      psc —— 标准状况下压力，MPa。
    拟压力对于坐标的导数可以表达为
           （19）
    拟压力对于时间的导数可以表达为
         （20）
    把方程（20）代入方程（12）的右侧得
              （21）
    把方程（19）代入方程（12）的左侧得
     
       （22）
    那么，扩散方程可以通过气体拟压力表达出来，由下式获得：
                （23）
    方程（23）是一个没有二次导数项的扩散方程。根据方程（15）和（17），因为气体压缩系数是压力的隐函数，所以岩石和气体综合压缩系数也是压力的隐函数。除此之外，气体黏度也是压力的隐函数。因此，方程（23）仍然是一个非线性方程。这个非线性方程用解析法求解非常困难，所以，将会应用数值方法求解。
    3  非线性流动模型的描述
    3.1  物理模型假设
    （1）在饱和了单一流体（气、油、水）的均质且各向同性的储层中仅有直井以恒定速率生产，外部边界可能是无限、封闭或者定压。
    （2）认为微可压缩岩石和流体（油和水）具有恒定不变的压缩系数，然而实际上气体的压缩系数随着压力的减小而变化。
    （3）等温方程和达西流忽略了重力和毛细管力的影响。
    （4）考虑了开井时井筒存储的影响，然而井筒中存储的流体开始流动时和当流体在地层中时没考虑。
    （5）考虑了井筒附近的表皮效应，这附近储层可能受到钻井和完井作业的损害（在生产过程中，可能存在一个额外的压力降，用表皮系数作为一个额外压力降的表现）。
    （6）当时间t=0时，压力均匀分布在地层中，等于初始压力（pi）。
    3.2  数学模型
    为了试井分析的便利性，使用了一系列应用工程单位建立了数学模型。
    3.2.1  地层中的液体流动
    3.2.1.1  数学模型的建立
    径向圆柱系统中的控制微分方程为
             （24）
    其中   —— 气体压缩系数，MPa1；
      —— 岩石和液体的综合压缩系数；
      —— 径向地层渗透率，达西；
      p —— 地层压力，MPa；
      r —— 从井筒中心算起的径向半径，m；
      t —— 井生产时间，h。
    初始条件：
           （25）
    其中  Pi —— 初始地层压力，MPa。
    井生产条件以有效半径为基础：
           （26）
    其中  B —— 原油体积系数，无量纲；
       —— 井筒存储系数，m³MPa1；
       —— 井筒压力，MPa；
      q —— 井口油井流量，m³/d；
      rwa —— 有效的井筒半径，m。
    有效的井筒半径定义为（Agarwal等，1970；Chaudhry，2004）：
              （27）
    其中  rw —— 真实的井筒半径，m；
      S —— 表皮系数，无量纲。
    外边界条件：
    无限大地层：
         （28）
    定压边界：
           （29）
    封闭边界：
           （30）
    其中  re —— 外边界半径，m。
    为了求解数学模型，引入了下面的无因次定义：
    无因次压力：
     
    表皮系数：
     
    其中   —— 井筒附近额外的压力降。
    以有效井筒半径为基础的无因次半径为
     
    外边界无因次半径：
     
    无因次的井筒存储系数：
     
    无因次时间：
     
    非线性项无因次系数：
     
    无因次数学模型如下：
    在径向圆柱系统中，控制微分方程等于：
              （31）
          （32）
    初始条件：
          （33）
    油井生产条件：
          （34）
    其中   —— 无因次井筒压力。
    外边界条件：
    无限大地层：
             （35）
    定压边界：
          （36）
    封闭边界：
          （37）
    3.2.1.2  无因次的线性化数学模型
    方程（31）是一个非线性偏微分方程。为了求解这个无因次的数学模型，引入下面变量的修改（Nie和Ding，2010；Odeh和Babu，1998）：
                       （38）
    那么
              （39）
              （40）
          （41）
          （42）
    把方程（38）～（42）代入方程（31），模型转换为
           （43）
           （44）
           （45）
           （46）
           （47）
    3.2.1.3  无因次数学模型的求解
    在TD基础上引入拉普拉斯变换：
             （48）
    在拉氏空间内，无因次数学模型为
                （49）
                （50）
                 （51）
                （52）
                    （53）
    公式（50）的解为
         （54）
                 （55）
    将公式（54）代入公式（50）和公式（51）得
            （56）
            （57）
    将公式（54）代入公式（51）～（53）得
              （58）
              （59）
              （60）
    其中  A和B —— 未定系数；
      I0（  ）—— 修正的第一类贝塞尔函数，零阶；
      I1（  ）—— 修正的第一类贝塞尔函数，一阶；
      K0（  ）—— 修正的第二类贝塞尔函数，零阶；
      K1（  ）—— 修正的第二类贝塞尔函数，一阶。
    在方程（56）～（60）中，有三个未知数（A, B,  ）和三个方
    程，在拉氏空间里我们可以通过线性代数很容易获得模型的解（Nie等，2011a，b），比如高斯消元法。
    在真实空间里， 和导数（ ）可以通过Stehfest数值反
    演把 转换回 获得（Stehfest，1970）， 那么无因次井筒压力（pwD）
    和导数（dpwD/dTD）可以通过把 代入方程（38）获得，从而可以获得 和 和（ ）的标准型双对数试井分析典型曲线。
    3.2.2  在有限地层中的气体流动
    3.2.2.1  数学模型的建立
    在径向圆柱形系统中，控制微分方程为
     
    其中  Ct —— 岩石和气体的综合压缩系数，MPa1；
      k —— 径向地层渗透率，达西；
        —— 气体拟压力，MPa2（mPa•s）1；
      r —— 从井筒中心算起的径向半径，m；
      t —— 井生产时间，h。
    初始条件
     
    其中  下标i表示初始。
    以有效半径为基础的井生产条件为
     
    其中  Cs —— 井筒存储系数，m³MPa1；
      ψw —— 井筒拟压力，MPa2（mPa•s）1；
      qg —— 井底井的流量，m³/d；
      rwa —— 有效井筒半径，m。
    在有限地层的外边界：
    定压边界：
     
    封闭边界：
     
    式中  re —— 外边界半径，m。
    3.2.2.2  非线性数学模型的求解
    因为在井筒附近井生产压力大大降低，所以在空间使用对数均匀化径向网格以离散化方程，在井筒附近获得相对密集的网格。启用一个新的空间变量：
     
    数学模型可以转换成：
                            （61）
     
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  1. 一、地层条件下油井生产过程中的非线性渗透模型 1
    1  引  言 1
    2  非线性控制方程 3
    3  非线性流动模型的描述 8
    4  非线性流动特征分析 16
    5  现场应用 31
    6  结  论 34
    参考文献 34
    附  录 38
    二、带有二次压力梯度项的非线性球形渗流模型
    及其渗流特征研究 41
    1  引  言 41
    2  非线性球形渗流方程的推导 42
    3  球形渗流模型及其解 46
    4  非线性渗流特征 53
    5  结  论 57
    参考文献 57
    三、带二次压力梯度项的裂缝性三重介质油藏不稳定试井分析 60
    1  前  言 61
    2  二次压力梯度项 62
    3  带有二次压力梯度项的非线性试井模型 64
    4  不稳定试井典型曲线和理论误差 73
    5  结  论 82
    参考文献 82
    符号说明 85
    附  录 87
    四、多层复合油藏包含二次压力梯度项的非线性渗流模型 88
    1  前  言 88
    2  非线性控制方程 90
    3  非线性模型描述 94
    4  非线性流动特征分析 103
    5  应用实例 110
    6  结  论 111
    参考文献 112
    ...查看更多

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